Mysterion 2003



Die Minimal-Diskriminanten von Diaz und Buell

d = -3321607,-3640387

mit 3-Rang r = 3 und d = -1 (mod 3)

Typisch ist in diesen beiden Konfigurationen die Aufteilung der 13 Hyperebenen H(1),...,H(13) der 3-elementaren Klassengruppe V3(1) = < a,b,c >

H(1)H(2)H(3)H(4)H(5)H(6)H(7)H(8)H(9)H(10)H(11)H(12)H(13)
< a,b >< b,c >< a,c >< a,bc >< b,ac >< c,ab >< a,bc2 >< b,ac2 >< c,ab2 >< ab,ac >< ab,bc >< ac,bc >< ab2,ac2 >


in 4-er Bündel über den 13 Geraden G(1),...,G(13)

G(1)G(2)G(3)G(4)G(5)G(6)G(7)G(8)G(9)G(10)G(11)G(12)G(13)
< a >< b >< c >< ab >< ab2 >< bc >< bc2 >< ac >< ac2 >< abc >< a2bc >< ab2c >< abc2 >


Jede Hyperebene H(i) kommt daher in genau 4 Bündeln vor:

V3(1)
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H(1)H(1)H(2)H(1)H(1)H(2)H(2)H(3)H(3)H(4)H(4)H(5)H(6)
H(3)H(2)H(3)H(6)H(9)H(4)H(7)H(5)H(8)H(5)H(8)H(7)H(7)
H(4)H(5)H(6)H(10)H(12)H(11)H(10)H(10)H(11)H(6)H(9)H(9)H(8)
H(7)H(8)H(9)H(11)H(13)H(12)H(13)H(12)H(13)H(13)H(10)H(11)H(12)
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G(1)G(2)G(3)G(4)G(5)G(6)G(7)G(8)G(9)G(10)G(11)G(12)G(13)
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O

d = -3321607

ist die im Absolutbetrag kleinste Primdiskriminante mit 3-Klassenrang r = 3. Die Klassenzahl ist h = 567 = 34*7 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (9,3,3). Drei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (94,27,8836), b = (128,53,6493) und c = (152,69,5471).

Im folgenden Diagramm ist die Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3-zulässiger Primführer q = 5,9,11,13,17,19,23,43,59,83,89,(97) dargestellt. Die Gesamtbesetzungszahl v der echten Teilräume von V3(1) ist in unserem Beispiel stets total: v = t.

V3(1)
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(17)(17)(19)(17)(17)(19)(19)H(3)H(3)(9,11)(9,11)H(5)H(6)
H(3)(19)H(3)H(6)(5)(9,11)(23)H(5)H(8)H(5)H(8)(23)(23)
(9,11)H(5)H(6)(59)H(12)(89)(59)(59)(89)H(6)(5)(5)H(8)
(23)H(8)(5)(89)(13,43,83)H(12)(13,43,83)H(12)(13,43,83)(13,43,83)(59)(89)H(12)
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G(1)G(2)G(3)G(4)G(5)G(6)G(7)G(8)G(9)G(10)G(11)G(12)G(13)
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O


Für die Multiplizitäten dieser regulären Führer, die hier nach Formel (3.1) zu berechnen sind, kommt es sehr wohl auf die einzelnen Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,13) der Hyperebenen an, wenngleich in die Formel nur die Besetzungszahlen b(j) (j = 1,...,13) der Hyperebenen-Bündel über allen 13 Geraden eingehen. (Die letzteren sind in der nachfolgenden Tabelle wegen der Permutations-Invarianz der Formel (3.1) durch kanonische Repräsentanten ersetzt.) Entscheidend sind also Auswahlen aus den Familien (17),(19),(9,11),(23),(5),(59),(89),(13,43,83) zu den 8 Hyperebenen H(1),H(2),H(4),H(7),H(9),H(10),H(11),H(13). Daher ist die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration auch von subtileren Phänomenen, wie etwa V3(13) = V3(43) = V3(83), die bei entarteten Konfigurationen keine Rolle spielen, abhängig. Wir konzentrieren uns hier auf hohe Vielfachheiten, weil 11 Führerteiler zur Verfügung stehen.

v(a(1),...,a(13))(b(1),...,b(13))fm(f)
11(1,1,0,2,0,0,1,0,1,1,1,0,3)(6,5,5,4,4,4,4,3,3,2,2,1,1)5*9*11*13*17*19*23*43*59*83*8927*36
10(1,1,0,2,0,0,1,0,0,1,1,0,3)(6,5,4,4,4,4,3,3,2,2,1,1,1)9*11*13*17*19*23*43*59*83*8927*22
10(1,1,0,2,0,0,1,0,1,1,1,0,2)(5,4,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1,1)5*9*11*13*17*19*23*43*59*8927*20
10(1,1,0,2,0,0,1,0,1,0,1,0,3)(5,5,5,4,4,4,3,3,2,2,2,1,0)5*9*11*13*17*19*23*43*83*8927*17
10(1,0,0,2,0,0,1,0,1,1,1,0,3)(5,5,5,4,4,4,3,3,3,1,1,1,1)5*9*11*13*17*23*43*59*83*8927*16
9(1,1,0,2,0,0,1,0,1,0,0,0,3)(5,5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,1,0)5*9*11*13*17*19*23*43*8327*13
9(1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,2)(5,4,3,3,3,3,3,3,3,2,2,1,1)5*9*13*17*19*23*43*59*8927*12
9(1,1,0,2,0,0,0,0,0,1,1,0,3)(5,5,4,4,4,3,3,3,2,1,1,1,0)9*11*13*17*19*43*59*83*8927*11
9(1,1,0,2,0,0,1,0,0,1,1,0,2)(5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,1,1,1)9*11*13*17*19*23*43*59*8927*10

d = -3640387

ist die im Absolutbetrag kleinste zusammengesetzte Diskriminante (d = -421*8647) mit 3-Klassenrang r = 3. Die Klassenzahl ist h = 162 = 2*34 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (9,3,3). Drei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (149,117,6131), b = (163,113,5603) und c = (229,207,4021).

Im folgenden Diagramm ist die Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3-zulässiger Primführer q = 2,5,9,11,13,17,23,29,31 dargestellt. Die Gesamtbesetzungszahl v der echten Teilräume von V3(1) ist in unserem Beispiel stets total: v = t.

V3(1)
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H(1)H(1)(13,23,31)H(1)H(1)(13,23,31)(13,23,31)H(3)H(3)H(4)H(4)(29)H(6)
H(3)(13,23,31)H(3)H(6)H(9)H(4)(11)(29)(9)(29)(9)(11)(11)
H(4)(29)H(6)H(10)H(12)(2)H(10)H(10)(2)H(6)H(9)H(9)(9)
(11)(9)H(9)(2)(5,17)H(12)(5,17)H(12)(5,17)(5,17)H(10)(2)H(12)
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G(1)G(2)G(3)G(4)G(5)G(6)G(7)G(8)G(9)G(10)G(11)G(12)G(13)
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O


Für die Multiplizitäten dieser regulären Führer, die hier nach Formel (3.1) zu berechnen sind, kommt es sehr wohl auf die einzelnen Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,13) der Hyperebenen an, wenngleich in die Formel nur die Besetzungszahlen b(j) (j = 1,...,13) der Hyperebenen-Bündel über allen 13 Geraden eingehen. (Die letzteren sind in der nachfolgenden Tabelle wegen der Permutations-Invarianz der Formel (3.1) durch kanonische Repräsentanten ersetzt.) Entscheidend sind also Auswahlen aus den Familien (13,23,31),(29),(11),(9),(2),(5,17) zu den 6 Hyperebenen H(2),H(5),H(7),H(8),H(11),H(13). Daher ist die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration auch von subtileren Phänomenen, wie etwa V3(13) = V3(23) = V3(31), die bei entarteten Konfigurationen keine Rolle spielen, abhängig. Wir konzentrieren uns hier auf niedrigere Vielfachheiten, weil weniger (9) Führerteiler zur Verfügung stehen.

v(a(1),...,a(13))(b(1),...,b(13))fm(f)
9(0,3,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,2)(6,5,4,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1)2*5*9*11*13*17*23*29*3127*8
8(0,3,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,2)(6,4,4,4,3,2,2,2,2,1,1,1,0)2*5*9*11*13*17*23*3127*9
8(0,3,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,2)(6,4,4,3,3,3,3,2,1,1,1,1,0)2*5*11*13*17*23*29*3127*7
8(0,3,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,2)(6,5,3,3,3,3,2,2,2,1,1,1,0)5*9*11*13*17*23*29*3127*5
8(0,2,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,2)(5,4,4,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1)2*5*9*11*13*17*23*2927*4
8(0,3,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,2)(5,5,4,4,3,3,2,2,1,1,1,1,0)2*5*9*13*17*23*29*3127*3
8(0,3,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1)(5,5,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1)2*5*9*11*13*23*29*3127*2
7(0,3,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,2)(5,5,3,3,3,3,2,1,1,1,1,0,0)5*9*13*17*23*29*3127*6
7(0,3,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1)(5,5,3,3,2,2,2,2,1,1,1,1,0)5*9*11*13*23*29*3127*5
6(0,3,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1)(4,4,4,3,2,2,2,1,1,1,0,0,0)2*5*13*23*29*3127*3
5(0,2,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0)(3,3,3,3,2,1,1,1,1,1,1,0,0)2*11*13*23*2927*2
4(0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,1)(2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,0,0,0)2*5*13*2927*1

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