Avancierte Kommunikation 2003. Das Präsentations-Medium Internet ermöglicht eine verzögerungsfreie, gleichsam instantane Publikation soeben erlangter, brandneuer und topaktueller wissenschaftlicher Erkenntnisse. Frei von all den Retardierungs-, Delay- und Backlog-Effekten beim Prozess der Veröffentlichung in Journalen. Revolutionäre Resultate. Die folgenden fundamentalen Ergebnisse exakter Abzählungen von Knoten im Abel'schen Netzwerk über quadratischen Zahlkörpern K sind noch nicht in gedruckter Form erschienen und werden von mir an dieser Stelle als Formeln der 3. und 4. Ordnung erstmals bekanntgegeben. Dabei sind die jeweils zur Erläuterung hinzugefügten Key Remarks von zentraler Bedeutung. Konzepte und Bezeichnungen. Theoretische Grundlage für alles folgende ist meine Präsentation beim Wiener Kongress 2001 .
r den p-Klassenrang eines quadratischen Zahlkörpers K, d die Diskriminante von K, f = pe q1...qs einen p-zulässigen Führer über K, t die Anzahl aller Primteiler von f, also t = s, wenn e = 0, und t = s+1, wenn e > 0 (im letzteren Fall setzen wir qs+1 = pe), u = #{1 <= k <= t | Vp(qk) = Vp(1)} die Anzahl der freien Primteiler von f, also die Besetzungszahl des Gesamtraums Vp(1) mit p-Ringräumen Vp(qk) von Primführern qk, v = t-u die Anzahl der restriktiven Primteiler von f, d. h. die Besetzungszahl aller Teilräume von Vp(1) mit Kodimension >=1, und w = 1 einen Indikator für den irregulären Führerteiler p2, falls p = 3, d = -3 (mod 9) und e = 2 ist. Unter dem Grenzraum verstehen wir den p-Ringraum Vp(f) des Gesamtführers f. Seine Kodimension, also der p-Defekt deltap(f), legt die Ordnung der folgenden Formeln für die Multiplizität m fest. Formeln der 0. Ordnung. (H. Hasse, 1929/04/08)
(0.0)
Dies ist die allgemeine Formel für den unverzweigten Fall f = 1,
bei dem der Grenzraum a priori mit dem Gesamtraum Vp(1) übereinstimmt.
Die Multiplizität m hängt dann nur vom p-Klassenrang r ab.
Formeln der 1. Ordnung. (D. C. Mayer, 1990/10/22 und 1990/11/11)
(1.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich ganz wohlerzogen in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall Vp(p2) = Vp(f) (Grenzraum)
hingegen im Positionszähler v >= 1.
Formeln der 2. Ordnung. (D. C. Mayer, 1991/09/29)
n = p+1 die Anzahl der Hyperebenen des mindestens 2-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1), die den Grenzraum enthalten, und mit a(1),...,a(n) die Besetzungszahlen dieser Hyperebenen.
(2.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich zwanglos in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
im Positionszähler u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i)
hingegen in der Besetzungszahl a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1.
Formeln der 3. Ordnung. (D. C. Mayer, 2001/08/20 und 2001/12/22)
n = p2+p+1 (bzw. n' = p+1) die Anzahl der Teilräume der Kodimension 2 des mindestens 3-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1), die den Grenzraum umfassen (bzw. zusätzlich in einer ausgezeichneten Hyperebene enthalten sind), b(1),...,b(n)(bzw. b(1),...,b(n')) die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 2.
(3.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich auch hier wieder nahtlos in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i)
hingegen im Positionszähler a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1
und in b(j) >= 1 für jene p+1 Teilräume der Kodimension 2,
in deren Hyperebenen-Bündel H(i) vorkommt.
Zahme Formel der 4. Ordnung. (D. C. Mayer, 2001/10/21 und 2001/12/22)
n = p3+p2+p+1 die Anzahl der Hyperebenen bzw. Teilräume der Kodimension 3 des mindestens 4-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1), die den Grenzraum enthalten, a(1),...,a(n) die Besetzungszahlen dieser Hyperebenen, b(1),...,b(n) die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 3, n' = p4+p3+2p2+p+1 die Anzahl der Teilräume der Kodimension 2 des mindestens 4-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1), die den Grenzraum enthalten, c(1),...,c(n') die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 2.
(4.1) Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1) mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1), fügen sich zwanglos in die reguläre Formel (w = 0) ein, wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird. Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum) wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2 in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt, im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i) hingegen im Positionszähler a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1. |
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