d = -2069688ist die im Absolutbetrag kleinste Diskriminante mit 3-Klassenrang r = 2, über der freie (delta3(9) = 0) irreguläre (9|f bei 3|d) Führer f auftreten können. Die Klassenzahl ist h = 504 = 23*32*7 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (3,3). Zwei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (562,224,943) und b = (607,298,889). Die im folgenden Diagramm dargestellte Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3-zulässiger Primführer q = 3,5,7,9,11,13,17,19,43,(59),61,(67),71,(73),(89),97,103,(109) zeigt, dass hier der 1. Fall zahmer (nämlich freier) irregulärer Führer ohne 3-Defekt von 9 vorliegt, weil V3(1) = < a,b > = V3(3) = V3(9) und somit delta3(3) = delta3(9) = 0 ist.Wegen r = 2 fallen die 4 Hyperebenen mit den Geraden zusammen. Die Besetzungszahl u des Gesamtraums V3(1) = V3(9) ist in diesem Beispiel stets positiv: u >= 1.
Die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration delta3(3) = delta3(9) = 0 freier irregulärer Führer ergibt sich ohne Schwierigkeit aus der regulären Formel (2.1) . Es kommt dabei auf die Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,4) der Hyperebenen an, also auf Auswahlen aus den Familien (5,71), (13,17,61), (7,11), (19,43,103) und es spricht in Form von u >= 1 stets der freie Führerteiler 9 mit. Durch Multiplikation der Führer f mit dem weiteren freien Primführer 97 tritt zu den Vielfachheiten m(f) der Faktor 2 hinzu.
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d = -128451ist die im Absolutbetrag kleinste Diskriminante mit 3-Klassenrang r = 2, über der zahme (delta3(3) = 0) irreguläre (9|f bei 3|d) Führer f auftreten können. Die Klassenzahl ist h = 72 = 23*32 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (3,3). Zwei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (75,57,439) und b = (103,89,331). Die im folgenden Diagramm dargestellte Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3- Primführer q = 2,3,9,11,29,53,(61),67,71,(89),103,(109) zeigt, dass hier der 2. Fall zahmer irregulärer Führer mit positivem 3-Defekt von 9 vorliegt, weil V3(1) = < a,b > = V3(3) > V3(9) = < a > und somit delta3(3) = 0 < delta3(9) = 1 ist.Wegen r = 2 fallen die 4 Hyperebenen mit den Geraden zusammen. Die Besetzungszahl a(1) der ausgezeichneten Hyperebene H(1) = V3(9) ist in diesem Beispiel stets positiv: a(1) >= 1.
Die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration delta3(3) = 0 < delta3(9) = 1 zahmer irregulärer Führer kann problemlos nach der regulären Formel (2.1) berechnet werden. Es kommt dabei auf die Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,4) der Hyperebenen an, also auf Auswahlen aus den Familien (9,53), (11,71,103), (29,67), (2) und es spricht in Form von a(1) >= 1 stets der restriktive Führerteiler 9 mit.
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d = -42591ist die im Absolutbetrag kleinste Diskriminante mit 3-Klassenrang r = 2, über der wilde (delta3(3) = 1) irreguläre (9|f bei 3|d) Führer f nicht-maximaler Restriktivität (delta3(9) = 1) auftreten können. Die Klassenzahl ist h = 216 = 23*33 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (9,3). Zwei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (22,1,484) und b = (48,15,223). Die im folgenden Diagramm dargestellte Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3-zulässiger Primführer q = 3,7,9,13,17,19,23,29,37,(47),(53),61,(67),(73),83,(97),(109) zeigt, dass hier der 1. Fall wilder irregulärer Führer mit positivem 3-Defekt von 3 aber nicht-maximalem 3-Defekt von 9 vorliegt, weil V3(1) = < a,b > > V3(3) = V3(9) = < b > und somit delta3(3) = delta3(9) = 1 ist.Wegen r = 2 fallen die 4 Hyperebenen mit den Geraden zusammen. Die Besetzungszahl a(2) der ausgezeichneten Hyperebene H(2) = V3(9) ist in diesem Beispiel stets positiv: a(2) >= 1.
Die Entartung dieser Konfiguration äußert sich darin, dass es für die Multiplizitäten irregulärer Führer, die hier nach Formel (2.2) zu berechnen sind, nicht auf die einzelnen Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,4) der Hyperebenen ankommt, sondern nur auf die Gesamtbesetzungszahl v aller Hyperebenen. Eine Sonderrolle spielt allerdings die ausgezeichnete Hyperebene V3(3) = H(2), weil die ihr zugeordneten Primführer zur Vereinfachung der Formel von der Besetzungszahl v in den Positionszähler u zu verschieben sind, wodurch effektive Größen ueff = u + a(2) und veff = v - a(2) an die Stelle von u und v treten. ueff ist die Anzahl der effektiv freien Primführer. Die Multiplizität hängt also nur von Auswahlen aus den Familien (9,37), (7,13,17,19,23,29,61,83) ab. Dabei spricht wegen V3(9) = H(2) der irreguläre Führerteiler 9 stets in der Besetzungszahl a(2) >= 1 und daher in ueff = u + a(2) >= 1 mit. Durch Multiplikation der Führer f mit dem gleichsam freien Primführer 37 tritt durch Zuwachs von ueff der Faktor 2 zu den Vielfachheiten m(f) hinzu. So wie man in der Quantenmechanik des H-Atoms von Entartung spricht, weil das Energieniveau E = - 2*pi2*m*e4 / n2*h2 des Hüllenelektrons im angeregten L-Schalen-Zustand |n,l,m> = |2,l,m> nur durch die Schalennummer (Hauptquantenzahl) n = 2 bestimmt aber vom Bahndrehimpuls l*h/2*pi und von der magnetischen Quantenzahl m unabhängig ist (außer beim Zeeman- oder Stark-Effekt in elektromagnetischen Feldern, der die Entartung teilweise aufhebt), so ist auch die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration delta3(3) = delta3(9) = 1 von subtileren Phänomemen, wie etwa V3(13) = V3(19), die bei anderen Konfigurationen sehr wohl eine Rolle spielen, unabhängig und somit entartet.
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d = -8751ist die im Absolutbetrag kleinste Diskriminante mit 3-Klassenrang r = 2, über der wilde (delta3(3) = 1) irreguläre (9|f bei 3|d) Führer f maximaler Restriktivität (delta3(9) = 2) auftreten können. Die Klassenzahl ist h = 72 = 23*32 und die 3-Klassengruppe Syl3(C) ist vom Typus (3,3). Zwei erzeugende quadratische Formen der Ordnung 3 sind hier a = (30,3,73) und b = (40,7,55). Die im folgenden Diagramm dargestellte Verteilung der 3-Ringräume V3(q) kleiner 3-zulässiger Primführer q = 3,9,(43),47,59,(67),(71),73,79,(83),89,(103),109 zeigt, dass hier der 2. Fall wilder irregulärer Führer mit positivem 3-Defekt von 3 und maximalem 3-Defekt von 9 vorliegt, weil V3(1) = < a,b > > V3(3) = < b > > V3(9) = < 1 > und somit delta3(3) = 1 < delta3(9) = 2 ist.Wegen r = 2 fallen die 4 Hyperebenen mit den Geraden zusammen. Die Gesamtbesetzungszahl v der echten Teilräume von V3(1) ist in diesem Beispiel stets positiv: v >= 1.
Die Entartung dieser Konfiguration äußert sich darin, dass es für die Multiplizitäten irregulärer Führer, die hier nach Formel (2.2) zu berechnen sind, nicht auf die einzelnen Besetzungszahlen a(i) (i = 1,...,4) der Hyperebenen ankommt, sondern nur auf die Gesamtbesetzungszahl v aller echten Teilräume. Eine Sonderrolle spielt wieder die ausgezeichnete Hyperebene V3(3) = H(2), weil die ihr zugeordneten Primführer zur Vereinfachung der Formel von der Besetzungszahl v in den Positionszähler u zu verschieben sind, wodurch effektive Größen ueff = u + a(2) und veff = v - a(2) an die Stelle von u und v treten. ueff ist die Anzahl der effektiv freien Primführer. Die Multiplizität hängt also nur von Auswahlen aus den Familien (79), (9,47,59,73,89,109) ab. Dabei spricht wegen V3(9) = O der irreguläre Führerteiler 9 stets in der Besetzungszahl v >= 1 und daher in veff = v - a(2) >= 1 mit. Durch Multiplikation der Führer f mit dem gleichsam freien Primführer 79 tritt durch Zuwachs von ueff der Faktor 2 zu den Vielfachheiten m(f) hinzu. So wie man in der Quantenmechanik des H-Atoms von Entartung spricht, weil das Energieniveau E = - 2*pi2*m*e4 / n2*h2 des Hüllenelektrons im angeregten L-Schalen-Zustand |n,l,m> = |2,l,m> nur durch die Schalennummer (Hauptquantenzahl) n = 2 bestimmt aber vom Bahndrehimpuls l*h/2*pi und von der magnetischen Quantenzahl m unabhängig ist (außer beim Zeeman- oder Stark-Effekt in elektromagnetischen Feldern, der die Entartung teilweise aufhebt), so ist auch die Multiplizität bei der vorliegenden Konfiguration delta3(3) = 1 < delta3(9) = 2 von subtileren Phänomemen, wie etwa V3(47) = V3(89), die bei anderen Konfigurationen sehr wohl eine Rolle spielen, unabhängig und somit entartet.
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