1. Definition of Principalization Types.Let K be a base field with 3-class rank 2 andwith 3-class group Syl3(C(K)) of 3-elementary abelian type (3,3). Denote by K1 the 1st Hilbert 3-class field of K. According to the Artin Reciprocity Law of Class Field Theory, the 3-class group Syl3(C(K)) = (3,3) of K is isomorphic to the relative automorphism group Gal(K1|K) of K1 over K. In particular, the 4 cyclic subgroups Ci (1 <= i <= 4) of Syl3(C(K)) are mapped to the Galois groups Gal(K1|Ni) = Mi of 4 unramified cyclic cubic extensions Ni of K. In fact, the Ci = Norm(Ni|K)Syl3(C(Ni)) are relative norms of 3-class groups. The following diagrams illustrate the Galois correspondence and the Artin isomorphism:
Now we consider the class extension homomorphisms j(Ni|K): Syl3(C(K)) --> Syl3(C(Ni)). We say an ideal class of K that is mapped to the principal class 1 of Ni by j(Ni|K) principalizes or becomes principal or capitulates in Ni. According to Hilbert's Theorem 94, none of the principalization kernels Ker j(Ni|K) is trivial, since there is an isomorphism to the unit cohomology of N = Ni: Ker j(N|K) = PN < S > /PK = EN|K/UNS-1 != 1, where Gal(N|K) = < S > and EN|K denotes the intersection of UN with Ker Norm(N|K). According to the Hilbert/Artin/Furtwängler Principal Ideal Theorem, we have complete principalization in the Hilbert 3-class field K1 = N0: Ker j(N0|K) = Syl3(C(K)) = C0. Thus, there are 5 possibilities for each Ker j(Ni|K), C0,...,C4, and if K is a quadratic field we define a Natural Principalization Type (k(1),...,k(4)), ordering the Ni (1 <= i <= 4),which have dihedral absolute groups Gal(Ni|Q) = D(6), by increasing regulators of their absolute cubic subfields Li: for each index 0 <= i <= 4 there exists a unique index 0 <= k(i) <= 4 such that Ker j(Ni|K) = Ck(i) (in particular, always k(0) = 0). An Important Application as Example. In the following tables, we give the natural principalization type (k(1)...k(4)) of all imaginary quadratic fields K = Q(d1/2) with discriminant -50000 < d < 0 and 3-class group of type (3,3). These recent computations of 2003 for 42 new cases in the range -50000 < d < -30000 [7] extend our own results for 22 fields with -30000 < d < -20000 of 1989 [5] and the 13 examples with -20000 < d < 0 of Heider and Schmithals in 1982 [2] . As a supplement, we give some singular cases with associated 2-stage metabelian 3-groups of exceptionally high order in the range -200000 < d < -50000 [8] . Exceptional cases are printed in boldface.
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2. The Connection between Class, Order, and Commutator Subgroup.In the preceding section and in our previous communication,concerning the descending central series of 2-stage metabelian 3-groups, we published several top recent results (discovered between January and August, 2003) for quadratic fields K whose Sylow 3-subgroup Syl3(C(K)) of the class group C(K), i. e., the 3-class group, is of type (3,3). We denoted by G = G1 > G2 > ... > Gi > ... > Gm = 1 the descending central series of class m - 1 of G with Gi+1 = [Gi,G]. In particular, G2 = [G,G] is the commutator subgroup G' of G. Now it is adequate to give the solution of a very fundamental problem: How do we get the class m-1 and the order 3n of the 2-stage metabelian 3-group G = G(K2|K) in ZEF(m,n) of the 2nd Hilbert 3-class field K2 of an arbitrary base field K with 3-class group Syl3(C(K)) = (3,3) over K from the structure of the (abelian) commutator subgroup G' = G2 = Gal(K2|K1) = Syl3(C(K1)) which coincides with the 3-class group of the 1st Hilbert 3-class field K1 of K: 1. There are bounds for the order in dependence on the class: m <= n <= 2m - 3 2. Since there are only upper triangular entries in an (m,n)-diagram, we use an ordering parameter e = n + 2 - m ( >= 2 ) to measure the distance from the diagonal ( e = 2 ) 3. Then we have an almost unique correspondence between the structure of G' and the pair (m,n), expressed in the following (easily extensible) table . Only the red pairs (m,n) are exceptional, since they correspond to 2 possible structures of G'. In particular, we get 3 theorems concerning important cases: THEOREM 1. G is of maximal class ( n = m, resp. e = 2 ) <==> the 3-rank of G' is r <= 2 THEOREM 2. G is of second maximal class ( n = m + 1, resp. e = 3 ) <==> the 3-rank of G' is r = 3 or G' = (3,3,3,3) THEOREM 3. G is of lower than second maximal class ( n >= m + 2, resp. e >= 4 ) <==> the 3-rank of G' is r = 4 and the order of G' is >= 243 |
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3. The Connection between Principalization Types, Class, and Order.The next question is: How are the principalization types related to the parameter e and the pairs (m,n) ?The fine (necessary and sufficient) conditions have been determined by Brigitte Nebelung [4] . Here, we only give a coarse connection: Denote by 0 <= f <= 4 the number of those unramified cubic extensions of K where the full 3-class group Syl_3(C(K)) = (3,3) of K becomes principal (i. e., capitulates). Then we have 2 theorems: THEOREM (i) G is of maximal class ( n = m, resp. e = 2 ) <==> f = 4, i. e., principalization type (0,0,0,0) or f = 3, i. e., principalization type (1,0,0,0) or (2,0,0,0) or f = 0 and the principalization type is (1,1,1,1) (which implies n = 3 ) THEOREM (ii) G is of second maximal class or lower ( n >= m + 1, resp. e >= 3 ) <==> f <= 2 but the principalization type is different from (1,1,1,1) |
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4. Peculiarities of Quadratic Fields.The last question is, what happens, if K is a quadratic field ?Well, according to Scholz and Taussky [1] we have 2 theorems: THEOREM 1. Principalization type (1,1,1,1) (denoted as Type "A" by S. & T.) is impossible for quadratic fields K THEOREM 2. f = 0 for any imaginary quadratic field K Example: d = -28031 ==> f = 0 and p.t. != (1,1,1,1) ==> e != 2 ==> r >= 3 ==> G' != (9,3). In fact, G' = (3,3,3). |
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5. Summary of recently (2003) discovered connections.In general, Nebelung's results still admit a wide range of 2-stage metabelian 3-groups G = G(K2 | K)for the 2nd Hilbert 3-class field K2 of an algebraic number field K with 3-class group Syl3(C(K)) of type (3,3) and with a certain principalization type (k(1),...,k(4)) in the four unramified cyclic cubic extensions N1,...,N4 of K. However, our concrete numerical results [7] discovered in 2003 for quadratic base fields K show that, in this special case, a principalization type (k(1),...,k(4)) uniquely determines the class m-1 and order 3n of G = G(K2 | K), except in the sections "F","G", and "H", where two possibilities arise. (Section "A" is impossible for quadratic base fields K and sections "B" and "C" cannot occur at all, for group theoretic reasons.) In the following table, the types (k(1),...,k(4))) are arranged into sections, according to [1,4] , and they are numbered similarly as in [5] . We always give a canonical representative (CR) of the type's equivalence class (S4-orbit), the year of the concrete numerical realization of the type with a reference, the first discriminant dK of a quadratic field K with that type, the number of fixed points (FP), the occupation numbers (ON) (telling how often each of the digits 1,2,3,4 appears in the representative), the cardinality (#) of the type's orbit under the operation of S4, an ideal of polynomials in Z[X,Y], called the associated symbolic order (SO) in [1] , the structure of the commutator subgroup G' = G2, the exponents in defining relations for the group's generators (RE), and the set ZEF(m,n), defined in [4] , to which the group G belongs. Finally, we note that the family of 3-class numbers (h1,...,h4) of the absolute cubic subfields L1,...,L4 of the normal S3-fields N1,...,N4 between K1 and K also permits partial conclusions concerning the group G.
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