Scientific Research 2010



The Reflection Theorem

applied to Principalization Types


Im Schlusswort zu seiner Dissertation [Br] fordert James R. Brink dazu auf,
Zusammenhänge zwischen den triadischen Kapitulationsarten
der komplex quadratischen Körper K = Q(d1/2) mit dem 3-Klassenrang 2
und der zu ihnen dualen reell quadratischen Körper K* = Q(d*1/2)
zu untersuchen und zu beobachten, ob dabei der nicht-eskalatorische Fall auftritt.


Ich folge nun dieser Anregung von Brink und beginne mit den dafür benötigten Erklärungen.
Ist K = Q(d1/2) ein komplex quadratischer Zahlkörper mit der Diskriminante d < 0,
dann heißt d* = -3d / (d,3)2 > 0 die zu d duale Diskriminante und
K* = Q(d*1/2) der zu K duale quadratische Zahlkörper.


Dabei bezeichnet (d,3) den größten gemeinsamen Teiler von d und 3,
also ist d* = -3d, falls (d,3) = 1 (d. h. wenn d nicht durch 3 teilbar ist)
und d* = -d/3, falls (d,3) = 3 (d. h. wenn d durch 3 teilbar ist).


Der Reflexionssatz (oder Spiegelungssatz) von Arnold Scholz [So] liefert
einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen den 3-Klassenrängen r von K und r* von K*:
entweder ist r = r* + 1 (der statistisch häufigere eskalatorische Fall)
oder es ist r = r* (der seltenere nicht-eskalatorische Fall).


Die Ausgangssituation von Brink war für diese Untersuchung denkbar ungünstig,
weil er unter Verwendung der Tabelle von Hideo Wada [Wa]
die Kapitulationsarten komplex quadratischer Körper bestimmte
und sich daher mitten im ausschließlich eskalatorischen Bereich befand.
Diese Tabelle gibt nämlich für alle quadratfreien Radikanden 0 > D > -24000,
also für alle ungeraden Diskriminanten 0 > d = D > -24000
und für alle geraden Diskriminanten 0 > d = 4D > -96000,
die Struktur der Klassengruppe des komplex quadratischen Zahlkörpers K = Q(d1/2).
Für die darunter vorkommenden 66 Körper K vom 3-Klassenrang r = 2
besitzt der zugehörige duale Körper K* stets den 3-Klassenrang r* = 1
mit von vorne herein eindeutig bestimmter (und somit uninteressanter) triadischer Kapitulationsart.

Die folgenden Paare (K,K*) von dualen quadratischen Körpern
bilden den Beginn der Informationen, die Wada und Brink zur Verfügung standen.

Nr. Diskriminante 3-Klassengruppe von Duale Diskriminante Nr.
d K K* d*
1 -3896 (3,3) (3) 11688 284
2 -4027 (3,3) (3) 12081 298
3 -6583 (3,3) (3) 19749 511
4 -8751 (3,3) (3) 2917 51
5 -9748 (3,3) (3) 29244 797


Durch den erfolgreichen Abschluss meines reellen Kapitulations-Projektes im Dezember 2009
bin ich nun in der Lage,
umgekehrt von den reell quadratischen Körpern K* mit 3-Klassenrang r* = 2 auszugehen,
für deren duale komplex quadratische Körper K der Reflexionssatz stets r = 2 oder sogar r = 3 garantiert,
sodass also durchwegs die triadische Kapitulationsart zu bestimmen ist
und möglicherweise interessante Zusammenhänge aufgedeckt werden können.
In der Tat befinde ich mich dabei so gut wie ausschließlich im nicht-eskalatorischen Bereich,
denn nur in einem von 240 Fällen, nämlich für d* = 1482568 und d = -4447704
tritt der bereits exotische Rang r = 3 auf.

Die folgenden Paare (K*,K) von dualen quadratischen Körpern
müssen alle auf ihre Kapitulationsarten untersucht werden.

Nr. Diskriminante 3-Klassengruppe von Duale Diskriminante Nr.
d* K* K d
1 32009 (3,3) (9,3) -96027 47
2 42817 (3,3) (3,3) -128451 220
3 62501 (3,3) (3,3) -187503 324
4 72329 (3,3) (3,3) -216987 383
5 94636 (3,3) (3,3) -283908 500
6 103809 (3,3) (9,3) -34603 12
7 114889 (3,3) (3,3) -344667 617
8 130397 (3,3) (9,3) -391191 309
9 142097 (3,3) (9,9) -426291 4
10 151141 (3,3) (3,3) -453423 856
11 152949 (3,3) (3,3) -50983 80
12 153949 (3,3) (3,3) -461847 875
13 172252 (3,3) (3,3) -516756 978
14 173944 (3,3) (9,3) -521832 442
15 184137 (3,3) (9,3) -61379 26
16 189237 (3,3) (3,3) -63079 97
17 206776 (3,3) (3,3) -620328 1189
18 209765 (3,3) (3,3) -629295 1215
19 213913 (3,3) (9,3) -641739 545
20 214028 (3,3) (3,3) -642084 1255
21 214712 (3,3) (27,3) -644136 133
22 219461 (3,3) (9,3) -658383 558
23 220217 (3,3) (3,3) -660651 1297
24 250748 (3,3) (9,3) -752244 624
25 252977 (3,3) (3,3) -758931 1504
1 255973 (9,3) (9,3) -767919 643
26 259653 (3,3) (3,3) -86551 125
27 265245 (3,3) (9,3) -88415 44
28 275881 (3,3) (3,3) -827643 1667
2 282461 (9,3) (9,3) -847383 719
29 283673 (3,3) (3,3) -851019 1702
30 298849 (3,3) (3,3) -896547 1803
31 320785 (3,3) (3,3) -962355 1948
32 321053 (3,3) (3,3) -963159 1950
33 326945 (3,3) (3,3) -980835 1982
35 335229 (3,3) (3,3) -111743 178
36 341724 (3,3) (9,3) -113908 57
3 384369 (9,3) (3,3) -128123 219
41 390876 (3,3) (3,3) -130292 223
46 424236 (3,3) (3,3) -141412 243
52 471057 (3,3) (9,3) -157019 91
54 476124 (3,3) (3,3) -158708 267
5 540213 (9,3) (3,3) -180071 307
234 1482568 (3,3) (3,3,3) -4447704 1
240 1496361 (3,3) (27,3) -498787 90


In der folgenden Korrelations-Übersicht für diese
Paare (K*,K) von dualen quadratischen Körpern bediene ich mich der
völlig neuartigen Charakterisierung von triadischen Kapitulationsarten
durch fast-homogene und exotische 3-Klassengruppen .

Diskriminante 3-Klassengruppe von Kapitulations-
d* bzw. d K L1 L2 L3 L4 N1 N2 N3 N4 K1 bzw. N*0 Art
Nr. 1
32009 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-96027 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 2
42817 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-128451 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.8 (1231)
Nr. 3
62501 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (3,3) (3,3) (3,3) (9,9) a.1 (0000)
-187503 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.9 (2231)
Nr. 4
72329 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-216987 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.9 (2231)
Nr. 5
94636 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-283908 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 6
103809 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-34603 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 7
114889 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-344667 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,9,3) F.13 (3143)
Nr. 8
130397 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-391191 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 9
142097 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-426291 (9,9) 3 3 3 3 (9,9,3) (9,9,3) (9,9,3) (9,9,3) (9,9,9)
Nr. 10
151141 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-453423 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.9 (2231)
Nr. 11
152949 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (3,3) (3,3) (3,3) (9,9) a.1 (0000)
-50983 (3,3) 9 3 3 3 (27,9) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) E.9 (2231)
Nr. 12
153949 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-461847 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 13
172252 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-516756 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 14
173944 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-521832 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 15
184137 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-61379 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 16
189237 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-63079 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Nr. 17
206776 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-620328 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (3,3,3) (9,3) (81,27,3) H.4 ↑↑ (3313)
Nr. 18
209765 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-629295 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.5 (4224)
Nr. 19
213913 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-641739 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,9,9) (-11651)
Nr. 20
214028 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-642084 (3,3) 27 3 3 3 (81,27) (9,3) (3,3,3) (9,3) (27,27,3) E.14 ↑ (2313)
Nr. 21
214712 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (9,3) (9,3) (3,3,3,3) G.19 (4321)
-644136 (27,3) 9 3 3 3 (81,9,3) (27,3,3) (81,3) (81,3) (27,9,9) (-41631)
Nr. 22
219461 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-658383 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 23
220217 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-660651 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Nr. 24
250748 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-752244 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 25
252977 (3,3) 9 3 3 3 (9,9) (3,3) (3,3) (3,3) (9,9) a.1 (0000)
-758931 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Nr. 1
255973 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
-767919 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 26
259653 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-86551 (3,3) 3 3 3 3 (27,3) (27,3) (27,3) (27,3) (3,3,3,3) G.19 (4321)
Nr. 27
265245 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-88415 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) (-5703)
Nr. 28
275881 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-827643 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Nr. 2
282461 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (3,3,3) (9,3) (9,3) (3,3,3) (282461)
-847383 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) (-5703)
Nr. 29
283673 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-851019 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 30
298849 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-896547 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.5 (4224)
Nr. 31
320785 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-962355 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 32
321053 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-963159 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) (9,3,3) H.4 (4443)
Nr. 33
326945 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-980835 (3,3) 9 9 3 3 (27,9) (27,9) (3,3,3) (3,3,3) (9,9,9,3) F. ()
Nr. 35
335229 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-111743 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 36
341724 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-113908 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 3
384369 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (3,3,3) (9,3) (9,3) (3,3,3) (282461)
-128123 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 41
390876 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.2 (1000)
-130292 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 46
424236 (3,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3* (2000)
-141412 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 52
471057 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-157019 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) (-3299)
Nr. 54
476124 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (3,3) (3,3) (3,3) (3,3) a.3 (2000)
-158708 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)
Nr. 5
540213 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (3,3,3) (9,3) (9,3) (3,3,3) (282461)
-180071 (3,3) 3 3 3 3 (9,3) (9,3) (3,3,3) (9,3) (3,3,3) D.10 (2241)


Ab Nr. 34, d* = 333656 und d = -1000968
unterschreiten die dualen Diskriminanten zum Teil die untere Grenze -106.

Beschränken wir uns vorerst auf duale Diskriminanten d > -106,
so bestehen also bis zur Nr. 54 die folgenden Korrelationen:

a.1: 2 mal mit E.9,
1 mal mit H.4;

a.2: 1 mal mit D.5,
3 mal mit D.10,
1 mal mit E.9,
1 mal mit E.14 ↑,
2 mal mit H.4,
1 mal mit H.4 ↑↑,
1 mal mit (9,3),(-3299);

a.3: 1 mal mit D.5,
2 mal mit D.10,
1 mal mit E.8,
1 mal mit E.9,
1 mal mit F.13,
1 mal mit H.4,
7 mal mit (9,3),(-3299),
1 mal mit (9,3),(-5703),
1 mal mit (9,3),(-11651);

a.3*: 4 mal mit D.10,
1 mal mit F,
1 mal mit G.19,
1 mal mit H.4,
1 mal mit (9,3),(-3299),
1 mal mit (9,9);

G.19: 1 mal mit (27,3),(-41631);

(9,3),(-3299): 1 mal mit (9,3),(-3299);

(9,3),(282461): 2 mal mit D.10,
1 mal mit (9,3),(-5703).

a.3 tritt also häufig zusammen mit (9,3),(-3299) auf.


References:

[Br] James R. Brink,
The class field tower for imaginary quadratic number fields of type (3,3),
Dissertation, Ohio State Univ., 1984.

[So] A. Scholz,
Über die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Körper zueinander,
J. Reine Angew. Math. 166 (1932), 201-203

[Wa] Hideo Wada,
A table of ideal class groups of imaginary quadratic fields,
Proc. Japan Acad. 46 (1970), 401 - 403.

*
Web master's e-mail address:
contact@algebra.at
*

Navigation 2010 Back to Algebra