Resumé über vier Jahre wissenschaftlicher Forschung am "Real Capitulation Project"
(vom 04. Januar 2006 bis zum 17. Dezember 2009)
In diesem Projekt habe ich die
triadischen Kapitulationsarten
aller reell quadratischen Grundkörper K
mit 3-Klassengruppe vom Typ (3,3)
und Diskriminante 0 < d < 106 bestimmt.
Zusammen mit Informationen über die 3-Klassengruppen der
Teilkörper
des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 von K
konnte ich daraus die Struktur der Automorphismengruppe G = Gal(K2|K)
des zweiten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K2 von K herleiten.
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Die Ausgangsposition: Grundlagen und Voraussetzungen
Aufgrund der Bestimmung der Isomorphieklassen und Verlagerungstypen
aller metabelschen 3-Gruppen G mit Kommutatorfaktorgruppe G/G' vom Typ (3,3)
durch B. Nebelung [Ne] im November 1989
stand mir zu Beginn des Projektes eine sehr fundierte theoretische Basis zur Verfügung.
Der Algorithmus von A. Scholz und O. Taussky [SoTa] zur Bestimmung der triadischen Kapitulationsart
eines quadratischen Zahlkörpers K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (3,3)
aus Fundamentalsystemen von Einheiten von K
und von den vier nicht-galoisschen absolut kubischen Teilkörpern L1,...,L4
der unverzweigten zyklisch kubischen Relativerweiterungen N1,...,N4 von K
sowie aus vier den Körpern N1,...,N4 nach dem Artinschen Reziprozitätsgesetz zugeordneten,
den Untergruppen von Cl3(K) entsprechenden dritten Idealpotenzzahlen von K
stammt bereits aus dem Jahre 1934
wurde aber 1982 durch F.-P. Heider und B. Schmithals [HeSm] präzisiert
und für reell quadratische Grundkörper mit wertvollen Ergänzungen
im Bezug auf die Kohomologie der Einheiten versehen.
Voraussetzung [Vo1] für die Berechnung von Grundeinheiten der kubischen Körper L1,...,L4
mit dem Algorithmus von G. F. Voronoi [Vo2]
war die Konstruktion einer Liste mit erzeugenden spurfreien Polynomen dritten Grades
für alle kubischen Körper im gewünschten Diskriminantenbereich.
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Schwierigkeiten und Probleme bei der Ausführung
Wie schon von J. R. Brink [Br] hervorgehoben wurde,
ist es sehr schwierig, das Zusammenspiel aller an der Bestimmung der Kapitulationsart beteiligten Algorithmen
zu koordinieren und vollständig zu automatisieren.
Während Brink für komplex quadratische Grundkörper K
nur eine Einheit pro einfach-reellem kubischem Körper L1,...,L4
zu ermitteln hatte,
musste ich für reell quadratische Grundkörper K zusätzlich die quadratische Grundeinheit und
zwei Einheiten pro total-reellem kubischem Körper L1,...,L4 berechnen.
Für die kubischen Einheiten reichte in meinem Diskriminantenbereich 0 < d < 106
fast immer eine Doppelpräzisionsarithmetik mit 16 geltenden Ziffern.
Die quadratischen Einheiten hingegen überstiegen in immerhin einem Drittel der Fälle
diese Doppelpräzisionsarithmetik und benötigten bis über 100 Stellen Multipräzision.
Auch die Bestimmung der Struktur und der Erzeugenden der 3-Klassengruppe ist für komplex quadratische Körper
mit genau einer reduzierten positiv definiten binären quadratischen Form pro Klasse viel einfacher als
für reell quadratische Körper mit einem ganzen Zyklus bzw. Doppelzyklus
von reduzierten indefiniten binären quadratischen Formen pro Klasse.
Schließlich sollte erwähnt werden, dass die diophantischen Normform-Gleichungen
zur Ermittlung der dritten Idealpotenzzahlen für negative Diskriminanten d < 0
infolge strenger Schranken für die Unbestimmten stets problemlos zu lösen sind,
aber für positive Diskriminanten d > 0, besonders bei großem quadratischem Regulator
erhebliche Probleme bereiten und dann nur durch Variation der von den Formen dargestellten Primzahlen
zu bewältigen sind.
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Ergebnisse und Konsequenzen für die zweite 3-Klassengruppe G = Gal(K2|K)
Der dominierende Anteil von 89 Prozent der reell quadratischen Grundkörper K mit 3-Klassengruppe vom Typ (3,3)
und Diskriminante 0 < d < 106 besitzt eine zweite 3-Klassengruppe von maximaler Klasse.
Ein bescheidener, aber vor der Projektausführung vollkommen unbekannter Anteil von 10 Prozent
weist eine zweite 3-Klassengruppe von fast-maximaler Klasse auf.
Nur ein einziger Grundkörper (mit Diskriminante d = 710652) hat
eine de facto exotische zweite 3-Klassengruppe von niedrigerer als fast-maximaler Klasse.
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