Das tiefere Anliegen der beiden Kapitulations-Projekte
war die Erforschung der Struktur der zweiten 3-Klassengruppe G,
also der Automorphismengruppe G = Gal(K2|K) des
zweiten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K2,
der 4596 quadratischen Grundkörper K mit
Diskriminante im Bereich -106 < d < 107
und 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (3,3).
Die Isomorphie-Invarianten dieser metabelschen 3-Gruppe G
lassen sich aus arithmetischen Daten verschiedener Teilkörper
des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 von K herleiten.
Die Ordnung |G| = 3n, die Klasse cl(G) = m-1
und die Struktur-Invariante e der absteigenden Zentralreihe von G,
die durch die Beziehung e = n-m+2 verbunden sind,
ergeben sich aus den 3-Klassenzahlen h3(Ni) mit i = 1,…,4
der vier unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungen Ni von K
und aus der 3-Klassenzahl h3(K1) von K1.
Die Verlagerungsart von G und damit die Relationen für die Erzeugenden von G
erhält man aus der Kapitulationsart von K in den vier Erweiterungen Ni.
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Komplexes Kapitulations-Projekt.
Die 2020 komplex-quadratischen Zahlkörper K
mit Diskriminante -106 < d < 0
und elementar-abelscher bizyklischer 3-Klassengruppe Cl3(K)
wurden aufgrund einer
Anregung
auf Seite 77
meiner Abhandlung [Ma] vom 11. Januar 1991
auf die Kapitulationsart ihrer 3-Klassen untersucht.
Das Projekt wurde bereits am 22. März 2003 gestartet
und erst am 15. Juli 2010
vollendet.
Dabei erwies sich am 16. Juni 2010 aus Gründen der Effizienz
ein Paradigmenwechsel vom klassischen Bottom Up-Algorithmus
zum modernen Top Down-Algorithmus als zwingend notwendig.
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Reelles Kapitulations-Projekt.
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Obgleich die
offizielle Anregung
zur Erforschung
der 149 reell-quadratischen Zahlkörper K
mit Diskriminante 0 < d < 106
und elementar-abelscher bizyklischer 3-Klassengruppe Cl3(K)
erst am 28. April 2006 erfolgte,
datiert der Start des Projektes schon am 4. Januar 2006
und die
Vollendung
gelang am 17. Dezember 2009
mit der Bestimmung der Kapitulationsarten unter Verwendung des
klassischen Algorithmus der lokalen kubischen Restcharaktere
von A. Scholz und O. Taussky.
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Da einerseits mehrere theoretisch mögliche Kapitulationsarten
im Bereich 0 < d < 106 nicht aufgetreten waren,
nämlich die vollkommen unbekannten Arten d.19, d.23 und d.25
und die von komplexen Grundkörpern bekannten Arten E.6, E.8, E.14, F und G.16,
und vor allem weil ich andererseits am 7. Dezember 2009
einen neuen Zusammenhang zwischen den Kapitulationsarten von K
und den Strukturen der 3-Klassengruppen Cl3(Ni)
entdeckt hatte, lag eine Ausdehnung des Projektes nahe.
Die 2576 reell-quadratischen Zahlkörper K
mit Diskriminante 0 < d < 107
und elementar-abelscher bizyklischer 3-Klassengruppe Cl3(K)
wurden auf die Struktur der 3-Klassengruppen von ihren vier
unverzweigten zyklisch kubischen Erweiterungskörpern Ni
und von deren absolut kubischen Teilkörpern Li untersucht,
woraus sich aufgrund des erwähnten Zusammenhanges
in der überwiegenden Zahl der Fälle bereits die Kapitulationsart von K ergab.
In den restlichen Fällen musste zusätzlich die Struktur der
3-Klassengruppe Cl3(K1) von K1 ermittelt werden,
um eindeutig auf die Kapitulationsart von K schließen zu können.
Diese
Fortsetzung des reellen Kapitulationsprojektes
erstreckte sich
zeitlich vom 27. Januar 2010 bis zum 20 März 2010.
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