2005 World Year of Physics

Wave Mechanics and Quantum Mechanics


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Structures in Micro Objects
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The Hydrogen Atom, related Ions, and Rydberg Atoms
Portrait: Schrödinger Portrait: Heisenberg Einer der ersten schönen Erfolge der um 1925 neu entwickelten
Wellen-Mechanik von Erwin Schrödinger und der
Matrizen-Mechanik von Werner Heisenberg
war die exakte Lösung der dynamischen Grundgleichung der Quantenmechanik
für ein System zweier entgegengesetzt geladener Teilchen in einem Bindungszustand,

z. B. für das Wasserstoff-Atom,
aber auch für einfache Ionen (He+, Li2+),
Elementarteilchen-Atome (wie Positronium, Myonium)
und Rydberg-Atome (mit einem Elektron in hohen Anregungszuständen).

Der Hamilton-(Gesamtenergie-)Operator H des Systems ist die Summe H = T + V
aus dem Operator der kinetischen Energie
T = (p12 / 2*m1) + (p22 / 2*m2)
und dem Operator der potentiellen (Coulomb-)Energie
V = (1 / 4*pi*epsilon0) * (Z*e*(-e) / ||r2-r1||).

Jedes Zweiteilchen-System kann durch Einführung
des Relativ-Ort-Vektoroperators r = r2-r1,
des Relativ-Impuls-Vektoroperators p = (m1p2 + m2p1) / (m1 + m2)
und der reduzierten Masse my = m1*m2 / (m1 + m2)
auf ein fiktives Einteilchen-System mit Zentral-Potentialfeld reduziert werden:
H = (p2 / 2*my) - (1 / 4*pi*epsilon0) * (Z*e2 / r)
wobei p = ||p|| und r = ||r||.

Portrait: Dirac Portrait: Bohr Das große Verdienst von Paul Adrien Maurice Dirac war der Nachweis,
dass Schrödingers Wellenmechanik und Heisenbergs Matrizenmechanik
nichts anderes als spezielle Eigenfunktions-Entwicklungen
seiner eigenen basisinvarianten Hilbertraum-Darstellung von Operatoren sind.

Ein vollständiger Satz vertauschbarer Observablen besteht
für das vorliegende Problem aus

(1) Hamilton-Operator H,
(2) Betrag L = ||L|| des Bahndrehimpuls-Vektoroperators L = (Lx,Ly,Lz), und
(3) z-Komponente Lz des Bahndrehimpuls-Vektoroperators L.

Diese lassen sich bezüglich des vollständigen Orthonormal-Systems
der Eigenvektoren |n,l,m> simultan diagonalisieren:

(1) H |n,l,m> = En |n,l,m>
(2) L |n,l,m> = h-*[l(l+1)]1/2 |n,l,m>
(3) Lz |n,l,m> = h-*m |n,l,m>

Die dabei auftretenden Energie-Eigenwerte
En = (-1 / n2) * Z2*(my / me) * Eo
mit der Rydberg-Energie
Eo = (1 / 4*pi*epsilon0)2 * (e4*me / 2*(h-)2) = 13.6 eV
stimmen exakt mit der von Niels Bohr halbklassisch berechneten
Quantisierung der Energie überein
und haben die Diskretheit des Spektrums zur Folge.

Die Richtungsquantisierung des Bahndrehimpulses L in einem äußeren Magnetfeld
ist hingegen mit dem Bohr'schen Modell nicht verständlich.

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