2008 Year of Mathematics

Cubic Extensions with Conductor 3 or 9

Besonderheiten des Primführers p = 3.

Im Gegensatz zu anderen 3-zulässigen Primführern q über quadratischen Grundkörpern K, die
entweder kongruent 1 modulo 3 und in K zerlegt
oder kongruent 2 modulo 3 und in K träge sind,
die also in K ein eindeutiges (unverzweigtes) Primzerlegungsverhalten aufweisen,
kommt der kritische Primführer p = 3 in allen drei Zerlegungsarten vor.

In quadratischen Körpern mit Radikand d = 1 (mod 3) ist 3 zerlegt und erst das Quadrat 32 ist 3-zulässig,
für d = 2 (mod 3) ist 3 träge und ebenfalls nur das Quadrat 32 ist 3-zulässig,
und für d = 0 (mod 3) ist 3 verzweigt und bereits selbst 3-zulässig.

Eine Besonderheit des verzweigten Falles ist die zusätzlich notwendige Unterscheidung
von Radikanden d = 3 (mod 9), für die 3 regulär verzweigt ist,
und d = 6 (mod 9) mit irregulärer Verzweigung von p = 3, bei der auch 32 ein 3-zulässiger Führer ist.
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Kongruenzklassen von quadratfreien Radikanden mit

verschiedenen Zerlegungstypen der Primzahlen 2 und 3.

Zur Überprüfung des Einflusses des Zerlegungstyps der Primzahl 2
unterscheiden wir zusätzlich drei Möglichkeiten für den quadratfreien Radikanden d:
2 ist unverzweigt für d = 1 (mod 4),
2 ist radikal verzweigt für d = 2 (mod 4),
2 ist verzweigt für d = 3 (mod 4).

Einheitenindizes und Minimaldiskriminanten werden
zuerst für den Führer 3 und dann für den Führer 9 angegeben.

Nr.Zerlegung von 3Zerlegung von 2KongruenzklasseEinheitenindizesMinimaldiskriminanten
1.d = 1(mod 3)d = 1(mod 4)d = 1(mod 12)1,2 bzw. 1,2,3,6133,13 bzw. 253,85,133,13
2.d = 1(mod 3)d = 2(mod 4)d = 10(mod 12)1,2 bzw. 1,2,3,688,40 bzw. 952,232,88,40
3.d = 1(mod 3)d = 3(mod 4)d = 7(mod 12)1,2 bzw. 1,2,3,628,- bzw. 172,-,28,-
4.d = 2(mod 3)d = 1(mod 4)d = 5(mod 12)1,2,4 bzw. 1,2,3,4,6,12329,77,5 bzw. 581,77,329,29,161,5
5.d = 2(mod 3)d = 2(mod 4)d = 2(mod 12)1,2,4 bzw. 1,2,3,4,6,12152,56,8 bzw. (1304),248,152,296,56,8
6.d = 2(mod 3)d = 3(mod 4)d = 11(mod 12)1,2,4 bzw. 1,2,3,4,6,1244,92,- bzw. 332,1148,44,-,92,-
7.d = 3(mod 9)d = 1(mod 4)d = 21(mod 36)1,3 bzw. 1,3,993,21 bzw. 417,93,21
8.d = 3(mod 9)d = 2(mod 4)d = 30(mod 36)1,3 bzw. 1,3,91272,120 bzw. 1416,1272,120
9.d = 3(mod 9)d = 3(mod 4)d = 3(mod 36)1,3 bzw. 1,3,9732,12 bzw. 732,1308,12
10.d = 6(mod 9)d = 1(mod 4)d = 33(mod 36)1,3 bzw. 1,369,33 bzw. 717,33
11.d = 6(mod 9)d = 2(mod 4)d = 6(mod 36)1,3 bzw. 1,3312,24 bzw. (11688),24
12.d = 6(mod 9)d = 3(mod 4)d = 15(mod 36)1,3 bzw. 1,3348,60 bzw. 5532,60
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Navigation durch die statistischen Ergebnisse für Einheitenindizes.

1. d = 1 (mod 12)
2. d = 10 (mod 12)
3. d = 7 (mod 12)
4. d = 5 (mod 12)
5. d = 2 (mod 12)
6. d = 11 (mod 12)
7. d = 21 (mod 36)
8. d = 30 (mod 36)
9. d = 3 (mod 36)
10. d = 33 (mod 36)
11. d = 6 (mod 36)
12. d = 15 (mod 36)


Bibliographische Referenzen:

[1] Daniel C. Mayer,
Lattice minima and units in real quadratic number fields,
Publicationes Mathematicae Debrecen
39 (1991), 19-86.

[2] Daniel C. Mayer,
Multiplicities of dihedral discriminants,
Mathematics of Computation
58 (1992), no. 198, 831-847,
and Supplements section S55-S58.

[3] Daniel C. Mayer,
Ring spaces for counting dihedral fields,
Univ. of Manitoba, Dept. of Computer Science,
Latest update, 2008.

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