Die komplexen kubischen Körper der Iimura-Polynome,

ihre Führer und Hauptfaktorisierungs-Typen

Erklärungen:

Die Iimura-Polynome sind normierte ganzzahlige Polynome 3. Grades ohne quadratischen Term und mit absolutem Koeffizienten D=-1, also Polynome der Form P(X)=X³+CX-1 mit ganz-rationalem linearem Koeffizienten C>-2. Ihre Nullstellen sind somit ganz-algebraische Zahlen x der Norm N(x)=1, d. h. Einheiten. Die Diskriminante von P(X) ist d(P)=-4C³-27 und muss wegen der Bedingung C>-2 kleiner oder gleich -23, also negativ sein. Die über Q irreduziblen Iimura-Polynome erzeugen daher komplexe (einfach reelle) kubische Zahlkörper L|Q.

Es gibt nur 2 über Q reduzible Polynome dieser Form:

• X³-2X-1=(X+1)(X²-X-1) mit C=-2, d(P)=5 und Nullstelle -1 erzeugt den reell quadratischen Körper k mit Diskriminante d(k)=5,
• X³-1=(X-1)(X²+X+1) mit C=0, d(P)=-27 und Nullstelle +1 erzeugt den imaginär quadratischen Körper k mit Diskriminante d(k)=-3, also den zyklotomischen Körper der 3. Einheitswurzeln.

Notation:

Im Folgenden bezeichnen wir mit

• L ... den vom Iimura-Polynom P(X) erzeugten (komplexen) kubischen Körper
• N ... den (sextischen) Normalkörper von L
• k ... den (imaginär) quadratischen Teilkörper von N
• f ... den Führer der (zyklisch kubischen) Relativerweiterung N|k
• r ... den 3-Klassen-Rang von k

Statistische Ergebnisse:

Wir fassen die Ergebnisse der Computerberechnungen für die 502 Polynome mit -1<=C<=500, von denen eines (C=0) reduzibel ist und 329 wegen zu kleiner Diskriminante d_L<-10⁷ verworfen wurden, tabellarisch zusammen:

Das sind Daten für 172 komplexe kubische Körper.

Literatur:

• [1] D. C. Mayer, Die Polynome von Iimura, Ishida und Morikawa, 1998, Fak. f. Math., Univ. Regensburg

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