Scientific Research 2010



Metabelian 3-Groups with Two Generators

and Punctured Transfer Kernel Types


Introduction

Am 02. Januar 2010 startete ich ein sehr prestige-trächtiges, gut vorbereitetes
und in einem weiten Bereich anwendbares wissenschaftliches Forschungsprojekt
zur Untersuchung der (zweistufig) metabelschen 3-Gruppen G mit zwei Erzeugenden G = < x,y >,
also mit Kommutatorfaktorgruppe G/G' vom 3-Rang 2 und von einem Typ der Gestalt (3u,3v)
mit Exponenten u ≥ v ≥ 1.

Die Gruppen G mit G/G' vom Typ (3,3), also die Fälle mit u = v = 1, sind von B. Nebelung [Ne] ausführlich behandelt worden.

Ich beginne daher zunächst mit dem Fall u > v = 1,
analysiere also die Eigenschaften von metabelschen 3-Gruppen G mit Kommutatorfaktorgruppe G/G' vom Typ (3u,3) mit u ≥ 2.

Vorrangiges Ziel ist die Bestimmung von Erzeugenden für die Glieder Gi der absteigenden Zentralreihe
und von Relationen für die Erzeugenden x,y von G = < x,y >.

Generators and Subgroups

Dazu wähle ich Erzeugende x,y von G derart, dass x3u und y3 in G' liegen.
Dann ist G = < x,y > und G/G' = < xG',yG' >.

Die vier maximalen Normalteiler von G sind
M4 = < x3,y,G' > mit bizyklischer Faktorgruppe M4/G' und
M1 = < x,G' >, M2 = < xy,G' >, M3 = < xy-1,G' > mit zyklischen Faktorgruppen Mi/G'.

Die Frattinigruppe von G ist Φ(G) = ∩i=14Mi = G3G' = < x3,G' >.

Die Kommutatorgruppe von G ist G' = G2 = < s2,G3 > mit dem Hauptkommutator s2 = [y,x].
Daher ist G2/G3 zyklisch und nach Blackburns Theorem 1.5 [Bl] von der Ordnung 3.
Folglich sind alle Faktoren Gi/Gi+1 mit i ≥ 2 vom Exponenten 3
und die Glieder der absteigenden Zentralreihe sind nach folgendem Schema konstruierbar:
G3 = < s2x-1,s2y-1,G4 >,
G4 = < s2(x-1)2,s2(x-1)(y-1), s2(y-1)(x-1),s2(y-1)2,G5 >,
et c.

Von entscheidender Bedeutung sind die charakteristischen Untergruppen
χi(G) = { g ∈ G | [g,u] ∈ Gi+2 für alle u ∈ Gi } mit i ≥ 1, die zwischen G' und G liegen.
χi(G) ist die größte Untergruppe U von G mit [U,Gi] ≤ Gi+2.
χi(G)/Gi+2 ist der Zentralisator von Gi/Gi+2 in G/Gi+2.
Ist m der Nilpotenzindex von G mit Gm = 1, also G von der Klasse cl(G) = m-1,
dann ist χi(G) = G genau dann, wenn i ≥ m-1.
Allgemein haben wir χi(G) ≤ χi+1(G) für i ≥ 2.
Erklären wir s = min{ 2 ≤ i ≤ m-1 | G' < χi(G) }, dann sind im Fall s < m-1, die Untergruppen wie folgt angeordnet:
G' = χ2(G) = … = χs-1(G) < χs(G) ≤ … ≤ χm-2(G) < χm-1(G) = G.

Welche Beziehungen zwischen der Ordnung |G| = 3n der Gruppe G und ihrer Klasse cl(G) = m-1 bestehen,
hängt vom 3-Rang der Faktoren Gi/Gi+1 ab.
Zwei Extremfälle sind einerseits die CF-Gruppen (Cyclic Factor Groups) mit (Gi:Gi+1) = 3 für 2 ≤ i ≤ m-1
und andererseits die BF-Gruppen (Bicyclic Factor Groups) mit (Gi:Gi+1) = 32 für 3 ≤ i ≤ m-1.
Aus diesen Annahmen erhalten wir mit der allgemeinen Beziehung
3n = |G| = ∏i=1m-1(Gi:Gi+1),
dass n = (u+1) + 1 + (m-3) = m + (u-1) für CF-Gruppen,
und n = (u+1) + 1 + 2(m-3) = u + 2(m-2) = 2m + (u-4) für BF-Gruppen.

The Germ of Coclass Theory

Ascione, Havas und Leedham-Green [AHL] haben CF-Gruppen mit u = 2,
also 3-Gruppen G mit Kommutatorfaktorgruppe G/G' vom Typ (9,3) und lauter zyklischen weiteren Faktoren untersucht.
Solche Gruppen mit der Ordnung |G| = 3n und der Klasse cl(G) = m-1
erfüllen die Beziehung n = m + 1 und sind daher von fast-maximaler Klasse bzw. Koklasse cc(G) = 2.

Die Autoren betrachteten die 8 Isomorphieklassen dieser Gruppen mit der Ordnung 35 = 243,
bezeichneten sie mit A, B, …, H und konstruierten deren Nachfolger höherer Ordnungen in einem Baumdiagramm.
Die Gruppen B, C, D und F besitzen keine Nachfolger
aber unter den Nachfolgern von A, E, G und H bis zur Ordnung 38 = 6561 kommen Gruppen G mit folgenden Eigenschaften vor:
1. Die zweite charakteristische Untergruppe χ2(G) ist der ausgezeichnete maximale Normalteiler M4
mit bizyklischer Faktorgruppe M4/G' vom Typ (3,3).
2. Wählt man ein Element a1 aus χ2(G) \ Φ(G) = M4 \ M*4
(also mit unseren Bezeichnungen a1 = y oder x3y oder x3y-1 oder Inverse davon)
und bildet damit die Gruppe G1 = <a1, G' > dann ist a13 in G' und es gilt:
[Gi,Gj] ≤ Gi+j+1 für i,j ≥ 1, Gi3 = Gi+2 für i ≥ 1 und m ≥ 4, n ≥ 5, wenn G Nachfolger von G oder H ist,
und sogar [Gi,Gj] ≤ Gi+j+3 für i,j ≥1, Gi3 = Gi+6 für i ≥ 1 und m ≥ 6, n ≥ 7, wenn G Nachfolger von E ist.


Applications in Algebraic Number Theory

Die wichtigste Anwendung der Theorie dieser metabelschen 3-Gruppen
ist die Automorphismengruppe G = Gal(K2|K) des zweiten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K2
eines Grundkörpers K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (3u,3v).
Dann ist nämlich G' = Gal(K2|K1) für den ersten Hilbertschen 3-Klassenkörper K1 von K
und somit G/G' ≅ Gal(K1|K) ≅ Cl3(K) vom Typ (3u,3v).

Die folgenden Diagramme stellen für den Spezialfall u = 2, v = 1
die Galois-Korrespondenz des Teilkörperverbandes von K1 und des Untergruppenverbandes von Gal(K1|K)
und die Artin-Isomorphie der Automorphismengruppe Gal(K1|K) und der 3-Klassengruppe Cl3(K) dar.

K1
//\\
N*3N*2N*1N*4
\\/
/
/\\
N4N1N2N3
\\//
K
Gal(K1|K1) = 1
//\\
M*3M*2M*1
M*4
\\/
/
/\\
M4
M1M2M3
\\//
Gal(K1|K)
1
//\\
C3C2C1
C4
\\/
/
/\\
C*4C*1C*2C*3
\\//
Cl3(K)


In der nachstehenden Tabelle werden die punktierten triadischen Kapitulationsarten
(Punctured Transfer Kernel Types, TKT)
von quadratischen Körpern K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (9,3), also mit u = 2, v = 1,
durch die 3-Klassengruppen gewisser Teilkörper des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 (Transfer Target Types, TTT) gekennzeichnet.
ε bedeutet die Anzahl der 3-Klassengruppen von N1,…,N4 vom 3-Rang mindestens gleich drei.

Diskriminante 3-Klassengruppe von Kohomologie- Kapitulations- Quanten-
d K L4 L1 L2 L3 N4 N1 N2 N3 N*4 ε Typ Art Gruppe, G32(K)
d > 0 4-fach total ↑
783689 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,3) (9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) 1 (αααα) a.1 (000;0) ↑ < 729,79 >↓
626264 (9,3) 3 9 3 3 (3,3,3) (9,9,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) 2 (αααα) a.1 (000;0) ↑ < 729,84 >↓
1064201 (9,3) 3 9 3 3 (3,3,3) (9,9,3) (9,3) (9,3) (27,9,3) 2 (αααα) a.1 (000;0) ↑
3-fach total
529393 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3) (9,3) (9,3) (9,3) 1 (δααα) b.2 (000;1) < 243,16 >
700313 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3) (9,3) (9,3) (9,3,3) 1 (δααα) b.15 (000;4) < 243,14 >↓
3763580 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3,3) (9,3) (9,3) (9,3) (3,3,3,3) 1 (δααα) b.15 (000;4) < 243,13 >↓
282461 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (9,3,3) (9,3) (9,3) (3,3,3) 2 (αδαα) b.16 (400;0) < 243,18 >
635909 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3) (27,3) (9,3) (9,3) (9,3) 1 (αδαα) b.3 (100;0) < 243,19..20 >
3-fach total ↑
1049305 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (3,3,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) 2 (δααα)
1327101 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,9) (3,3,3) (9,3) (9,3) (9,9,3) 2 (δααα)
3-fach partiell ↑
4335916 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) 1 (αδδδ)
2904493 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) 2 (αδδδ)
4-fach partiell
255973 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) 2 (δδδδ) D.11 (423;2) < 729,14..15 >
1893032 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) 1 (δδδδ) E.12 (123;4) < 729,17..18 >↓
1664444 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,3,3,3) 1 (δδδδ) B.7 (111;4) < 729,16|19 >↓
4-fach partiell ↑
5062497 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,9) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,9,9) 2 (δδδδ) C.4 (112;2) ↑
d < 0 4-fach partiell
-3299 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,3,3) 2 D.11 (423;2) < 729,14..15 >
-5703 (9,3) 3 3 3 3 (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,3) 1 E.12 (123;4) < 729,17..18 >↓
-54695 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,3,3,3) 1 B.7 (111;4) < 729,16|19 >↓
-289704 (9,3) 3 3 3 3 (3,3,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,9,3,3,3) 4 A.20 (444;4) < 729,9 >↓
angeregt
-11651 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,9,9) 2 D.10 (114;2) ↑
-31983 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (27,3) (27,3) (27,3) (9,9,9) 1 D.6 (123;1) ↑
-38296 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (27,3) (27,3) (27,3) (27,9,9) 1 E.12 (123;4) ↑
-42567 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,9) (9,3,3) (27,3) (27,3) (9,9,9) 2 C.4 (112;2) ↑
-48039 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,9,9) 2 B.2 (111;2) ↑
-64671 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (27,27,3,3,3) 4 A.20 (444;4) ↑
-129551 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,9) (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,9,9) 2 B.2 (111;2) ↑
-150319 (9,3) 9 3 3 3 (27,9,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,9,3,3,3) 4 B.18 (144;4) ↑
-294983 (9,3) 9 3 3 3 (9,9,9) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,9,3,3,3) 4 B.18 (144;4) ↑
höher angeregt
-210164 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (27,3) (27,3) (27,3) (27,27,9) 1 D.6 (123;1) ↑2
-248019 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (27,3) (27,3) (27,3) (81,27,9) 1 E.12 (123;4) ↑2
-320968 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (27,27,9) 2 C.4 (112;2) ↑2
-367871 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (81,27,9) 2 B.2 (111;2) ↑2
-384139 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (27,27,3,3,3) 4 A.20 (444;4) ↑2
-389371 (9,3) 27 3 3 3 (81,27,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,3,3) (81,81,3,3,3) 4 B.18 (144;4) ↑2
2-fach angeregt
-87979 (9,3) 9 9 3 3 (27,9,3) (9,9,9) (9,3,3) (9,3,3) (9,9,9,3,3) 4 D.17 (144;2) ↑↑
-89923 (9,3) 9 9 3 3 (27,9,3) (9,9,9) (9,3,3) (9,3,3) (27,9,9,3,3) 4 B.18 (144;4) ↑↑
-388615 (9,3) 9 9 3 3 (27,9,3) (27,9,3) (9,3,3) (9,3,3) (27,9,9,3,3) 4 B.19 (444;1) ↑↑
-416568 (9,3) 9 9 3 3 (27,9,3) (27,9,3) (9,3,3) (9,3,3) (27,27,9,9,3) 4 A.20 (444;4) ↑↑
-445960 (9,3) 9 9 3 3 (27,9,3) (27,9,3) (9,3,3) (9,3,3) (9,9,9,3,3) 4 D.17 (144;2) ↑↑
3-fach angeregt
-121864 (9,3) 3 9 9 27 (3,3,3,3) (27,9,3) (9,9,9) (81,27,3) (27,27,9,9,3,3) 4 D.9 (112;4) ↑↑↑2
-172484 (9,3) 3 9 9 9 (3,3,3,3) (27,9,3) (27,9,3) (27,9,3) (9,9,9,9,3,3) 4 D.9 (112;4) ↑↑↑
-311316 (9,3) 3 9 9 9 (3,3,3,3) (27,9,3) (9,9,9) (9,9,9) (9,9,9,9,3,3) 4 D.16 (124;4) ↑↑↑
-425131 (9,3) 3 9 9 9 (3,3,3,3) (27,9,3) (27,9,3) (27,9,3) (9,9,9,3,3,3,3) 4 D.16 (124;4) ↑↑↑


Weitere Beispiele für die in obenstehender Tabelle mit ihren betragsmäßigen Minimaldiskriminanten
angeführten grundlegenden Kapitulationsarten sind:

a.1 (000;0) ↑ (783689): d = 1115337,1193788;
a.1 (000;0) ↑ (626264): d = 1625009,2122521,2149372,2220104;
b.2 (000;1) (529393): d = 895449,948777,1787597,1855052,2259761,2689608,2754616;
b.15 (000;4) (700313): d = 1058044,2876424,7774229;
b.15 (000;4) (3763580): d = 6540917,8626101;
b.16 (400;0) (282461): d = 384369,540213,1112413,1551257,2059253;
b.3 (100;0) (635909): d = 946733,1224201,1268041,1570213,1659109,1712577,2181533,2208188,
2385996,2614717,2672465,2706373,2785436,2813221,2822344,2893317,
2931685,2948093;
(1049305): d = 1966441;
D.11 (423;2) (-3299): d = -10015,-27656,-33879,-34603,-47199,-54931,-61379,-62527,
-69128,-72815,-82183,-83723,-96027,-113908,-157019,-391191,
-521832,-658383,-752244,-767919
und auch d = 255973,1769353,2399377,2530904;
E.12 (123;4) (-5703): d = -19427,-19919,-27635,-42591,-49576,-57336,
-61771,-64571,-71423,-73832,-88223,-88415,-847383
und auch d = 1893032;
B.7 (111;4) (-54695): d = -54707,-74615,-107156,-151971,-213364,-228740;
A.20 (444;4) (-289704): d = -324319,-375799,-390008;
D.10 (114;2) ↑ (-11651): d = -17723,-35331,-43763,-64063,-78223,-92515,-641739;
D.6 (123;1) ↑ (-31983): d = -98443;
E.12 (123;4) ↑ (-38296): d = -56132,-67255;
C.4 (112;2) ↑ (-42567): d = -85672;
B.2 (111;2) ↑ (-48039): d = -170639;
A.20 (444;4) ↑ (-64671): d = -150319,-185160,-194703,-229764,-269187,-333039,-347891;
B.18 (144;4) ↑ (-294983): d = -389435;
D.17 (144;2) ↑↑ (-87979): d = -226327,-294776,-356068;
B.18 (144;4) ↑↑ (-89923): d = -242255.

Die Berechnungen für komplex quadratische Grundkörper mit 3-Klassengruppe vom Typ (9,3)
wurden teilweise schon von den Autorenteams
A. Scholz und O. Taussky [SoTa] im Jahr 1933 (für d = -3299,-19427) und
F.-P. Heider und B. Schmithals [HeSm] im Jahr 1982 (für d = -5703,-10015,-11651,-17723,-19919) durchgeführt.

Die Diskriminanten von reell quadratischen Grundkörpern mit 3-Klassengruppe vom Typ (9,3)
scheinen vor meiner Konstruktion aller Quartette total reeller kubischer Zahlkörper mit Fundamentaldiskriminante d < 106
im Jahr 2006 unbekannt gewesen zu sein und werden von mir seit 2009 auf ihre Kapitulationsart untersucht.


In der nachstehenden Tabelle werden die triadischen Kapitulationsarten
von quadratischen Körpern K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (27,3), also mit u = 3, v = 1,
durch die 3-Klassengruppen gewisser Teilkörper des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 gekennzeichnet.

Diskriminante 3-Klassengruppe von Kapitulations-
d K L4 L1 L2 L3 N4 N1 N2 N3 N*4 Art
d > 0 3-fach total
2178049 (27,3) 3 3 3 3 (81,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (δααα)
2706029 (27,3) 3 3 3 3 (27,3,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (δααα)
2196321 (27,3) 9 3 3 3 (81,9,3) (9,3,3) (27,3) (27,3) (δααα)
4-fach partiell
1559644 (27,3) 3 3 3 3 (9,9,3) (81,3) (81,3) (81,3) (δδδδ)
d < 0 4-fach partiell
-17399 (27,3) 3 3 3 3 (27,3,3) (27,3,3) (81,3) (81,3) (27,3,3)
angeregt
-41631 (27,3) 9 3 3 3 (81,9,3) (27,3,3) (81,3) (81,3) (27,9,9)


Weitere Beispiele für die in obenstehender Tabelle mit ihren betragsmäßigen Minimaldiskriminanten
angeführten grundlegenden Kapitulationsarten sind:

(-17399): d = -19679,-45131.


In der nachstehenden Tabelle werden die triadischen Kapitulationsarten
von quadratischen Körpern K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (81,3), also mit u = 4, v = 1,
durch die 3-Klassengruppen gewisser Teilkörper des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 gekennzeichnet.

Diskriminante 3-Klassengruppe von Kapitulations-
d K L4 L1 L2 L3 N4 N1 N2 N3 N*4 Art
d < 0 4-fach partiell
-29399 (81,3) 3 3 3 3 (81,3,3) (81,3,3) (243,3) (243,3)


In der nachstehenden Tabelle werden die triadischen Kapitulationsarten
von quadratischen Körpern K mit 3-Klassengruppe Cl3(K) vom Typ (9,9), also mit u = v = 2,
durch die 3-Klassengruppen gewisser Teilkörper des ersten Hilbertschen 3-Klassenkörpers K1 gekennzeichnet.

Diskriminante 3-Klassengruppe von Kapitulations-
d K L4 L1 L2 L3 N4 N1 N2 N3 N*4 Art
d < 0 4-fach partiell
-134059 (9,9) 3 3 3 3 (27,3,3) (27,3,3) (27,3,3) (27,3,3) (9,9,9)
-426291 (9,9) 3 3 3 3 (9,9,3) (9,9,3) (9,9,3) (9,9,3) (9,9,9)
angeregt
-208084 (9,9) 9 3 3 3 (9,9,9,3) (9,9,3) (27,3,3) (27,3,3) (27,27,9,3,3)


References:

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