Die folgenden fundamentalen Ergebnisse
exakter Abzählungen von Knoten
im Abel'schen Netzwerk über quadratischen Zahlkörpern K
sind noch nicht in gedruckter Form erschienen
und werden von mir an dieser Stelle
als Formeln der 3. und 4. Ordnung erstmals bekanntgegeben.
Dabei sind die jeweils zur Erläuterung hinzugefügten
Key Remarks von zentraler Bedeutung.
Konzepte und Bezeichnungen.
Theoretische Grundlage für alles folgende
ist meine Präsentation beim
Wiener Kongress 2001
.
Im Folgenden bedeutet
r den p-Klassenrang eines quadratischen Zahlkörpers K,
d die Diskriminante von K,
f = pe q1...qs
einen p-zulässigen Führer über K,
t die Anzahl aller Primteiler von f,
also t = s, wenn e = 0, und t = s+1, wenn e > 0
(im letzteren Fall setzen wir qs+1 = pe),
u = #{1 <= k <= t | Vp(qk) = Vp(1)}
die Anzahl der freien Primteiler von f,
also die Besetzungszahl des Gesamtraums Vp(1)
mit p-Ringräumen Vp(qk) von Primführern qk,
v = t-u die Anzahl der restriktiven Primteiler von f,
d. h. die Besetzungszahl aller Teilräume von Vp(1) mit Kodimension >=1,
und
w = 1 einen Indikator für den
irregulären Führerteiler p2,
falls p = 3, d = -3 (mod 9) und e = 2 ist.
Unter dem Grenzraum verstehen wir den
p-Ringraum Vp(f) des Gesamtführers f.
Seine Kodimension, also der p-Defekt deltap(f),
legt die Ordnung der folgenden Formeln
für die Multiplizität m fest.
Formeln der 0. Ordnung.
(H. Hasse, 1929/04/08)
(0.0)
|
m = pr-1 / (p-1)
|
(0.1)
|
m = pr+w (p-1)u-1
|
(0.0)
Dies ist die allgemeine Formel für den unverzweigten Fall f = 1,
bei dem der Grenzraum a priori mit dem Gesamtraum Vp(1) übereinstimmt.
Die Multiplizität m hängt dann nur vom p-Klassenrang r ab.
(0.1)
Hier gibt es nur einen einzigen zahmen irregulären Fall (w = 1),
der sich mit dem Zusatzfaktor pw
ohne Schwierigkeit in die reguläre Formel (w = 0) einfügt.
Der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
wird stets in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
die wiederum mit der Gesamtzahl t übereinstimmt,
weil der Grenzraum Vp(f) mit dem Gesamtraum Vp(1) zusammenfällt.
Der Positionszähler v ist hier immer gleich Null.
Formeln der 1. Ordnung.
(D. C. Mayer, 1990/10/22 und 1990/11/11)
(1.1)
|
m = pr+w (p-1)u
[(p-1)v-1 - (-1)v-1] / p
|
(1.2)
|
m = pr (p-1)u+a-1
|
(1.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich ganz wohlerzogen in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall Vp(p2) = Vp(f) (Grenzraum)
hingegen im Positionszähler v >= 1.
(1.2)
Beim wilden irregulären Fall (w = 1)
mit restriktivem Primführer p, also dem Grenzraum Vp(p) = Vp(f),
erstaunt uns eine Entartung zu einer Formel effektiv niedrigerer Ordnung,
weil die a = v restriktiven,
also zum Grenzraum Vp(f) = Vp(p) gehörigen,
Primführer
gleichsam wie frei fungieren, sodass praktisch
Effektivwerte ueff = u+a = t und veff = v-a = 0
an die Stelle von u und v treten.
Darauf wies ich bereits ausdrücklich am 20. Dezember 1990
in meiner historischen Präsentation bei der
Assilomar Westcoast Number Theory Conference
in Pacific Grove bei Monterey (California) hin,
ohne mir damals noch der vollen Tragweite dieses Phänomens bewußt zu sein.
Formeln der 2. Ordnung.
(D. C. Mayer, 1991/09/29)
Für die Vielfachheits-Formeln der 2. Ordnung bezeichnen wir mit
n = p+1 die Anzahl der Hyperebenen des mindestens 2-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1),
die den Grenzraum enthalten,
und mit a(1),...,a(n) die Besetzungszahlen dieser Hyperebenen.
(2.1)
|
m = pr+w (p-1)u
[(p-1)v-1
+ (-1)v-a(1)(p-1)a(1)
+ ...
+ (-1)v-a(n)(p-1)a(n)] / p2
|
(2.2)
|
m = pr (p-1)u+a
[(p-1)v-a-1 - (-1)v-a-1] / p
|
(2.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich zwanglos in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
im Positionszähler u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i)
hingegen in der Besetzungszahl a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1.
(2.2)
Bei den zwei wilden irregulären Fällen (w = 1)
mit restriktivem Primführer p, also einer Hyperebene Vp(p) = H(i),
stellen wir eine Entartung zu einer Formel effektiv niedrigerer Ordnung fest,
weil die a = a(i)
zur ausgezeichneten Hyperebene H(i) = Vp(p) gehörigen
Primführer
gleichsam wie frei fungieren, sodass praktisch
Effektivwerte ueff = u+a und veff = v-a
an die Stelle von u und v treten.
Falls auch Vp(p2) mit H(i) übereinstimmt
(1. Fall),
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl a = a(i) >= 1 mitgezählt,
ist jedoch Vp(p2) = Vp(f) sogar der Grenzraum
(2. Fall von maximalem Defekt),
dann trägt dieser irreguläre Primpotenzführer
nicht zum Positionszähler ueff sondern zu veff >= 1 bei.
Formeln der 3. Ordnung.
(D. C. Mayer, 2001/08/20 und 2001/12/22)
Für die Vielfachheits-Formeln der 3. Ordnung benötigen wir noch
n = p2+p+1 (bzw. n' = p+1) die Anzahl der Teilräume der Kodimension 2 des mindestens 3-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1),
die den Grenzraum umfassen (bzw. zusätzlich in einer ausgezeichneten Hyperebene enthalten sind),
b(1),...,b(n)(bzw. b(1),...,b(n')) die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 2.
(3.1)
|
m = pr+w (p-1)u
[(p-1)v-1
+ (-1)v-b(1)(p-1)b(1)
+ ...
+ (-1)v-b(n)(p-1)b(n)] / p3
|
(3.2)
|
m = pr (p-1)u+a
[(p-1)v-a-1
+ (-1)v-b(1)(p-1)b(1)-a
+ ...
+ (-1)v-b(n')(p-1)b(n')-a] / p2
|
(3.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich auch hier wieder nahtlos in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i)
hingegen im Positionszähler a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1
und in b(j) >= 1 für jene p+1 Teilräume der Kodimension 2,
in deren Hyperebenen-Bündel H(i) vorkommt.
(3.2)
Bei den zwei wilden irregulären Fällen (w = 1)
mit restriktivem Primführer p, also einer Hyperebene Vp(p) = H(i),
stellen wir eine Entartung zu einer Formel effektiv niedrigerer Ordnung fest,
weil die a = a(i)
zur ausgezeichneten Hyperebene H(i) = Vp(p) gehörigen
Primführer
gleichsam wie frei fungieren, sodass praktisch
Effektivwerte ueff = u+a und veff = v-a
an die Stelle von u und v treten.
Ferner wird nicht über alle p2+p+1 Teilräume der Kodimension 2 summiert
sondern nur über jene p+1, die in H(i) = Vp(p) enthalten sind.
Falls auch Vp(p2) mit H(i) übereinstimmt
(1. Fall),
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl a = a(i) >= 1 mitgezählt,
ist jedoch Vp(p2) = Vp(f) sogar ein Teilraum der Kodimension 2
(2. Fall von maximalem Defekt),
dann trägt dieser irreguläre Primpotenzführer
nicht zum Positionszähler ueff sondern zu veff bei.
Zahme Formel der 4. Ordnung.
(D. C. Mayer, 2001/10/21 und 2001/12/22)
Für die Vielfachheits-Formeln der 4. Ordnung schließlich haben wir
n = p3+p2+p+1 die Anzahl der Hyperebenen bzw. Teilräume der Kodimension 3 des mindestens 4-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1),
die den Grenzraum enthalten,
a(1),...,a(n) die Besetzungszahlen dieser Hyperebenen,
b(1),...,b(n) die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 3,
n' = p4+p3+2p2+p+1 die Anzahl der Teilräume der Kodimension 2 des mindestens 4-dimensionalen Fp-Vektorraums Vp(1),
die den Grenzraum enthalten,
c(1),...,c(n') die Besetzungszahlen der Hyperebenen-Bündel über diesen Teilräumen der Kodimension 2.
(4.1)
|
m = pr+w (p-1)u
[(p-1)v-1
+ (-1)v-b(1)(p-1)b(1)
+ ...
+ (-1)v-b(n)(p-1)b(n)
- p2{(-1)v-c(1)(p-1)c(1)
+ ...
+ (-1)v-c(n')(p-1)c(n')}
+ p2(p+1){(-1)v-a(1)(p-1)a(1)
+ ...
+ (-1)v-a(n)(p-1)a(n)}] / p4
|
(4.1)
Die zwei zahmen irregulären Fälle (w = 1)
mit freiem Primführer p, also dem Gesamtraum Vp(p) = Vp(1),
fügen sich zwanglos in die reguläre Formel (w = 0) ein,
wenn der Zusatzfaktor pw verwendet wird.
Für den ersten Fall Vp(p2) = Vp(1) (Gesamtraum)
wird der irreguläre Führerteiler qs+1 = p2
in der Besetzungszahl u >= 1 mitgezählt,
im zweiten Fall einer Hyperebene Vp(p2) = H(i)
hingegen im Positionszähler a(i) >= 1 und somit auch in v = a(1)+...+a(n) >= 1.
|